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| Probabilités-Un pari à trancher par mathématiciens par An***li***8932 le
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| Théorie | |
Bonjour, Voici un lien vers un problème de proba: Les trois portes
Il est écrit dans la solution :"Sinon, lorsqu'il change de porte, l'événement est contraire du précédent et la probabilité de gagner est donc 2/3."
Or, contrairement à mon ami qui approuve cette solution, j'affirme qu'il y a équiprobabilité des événements avant et après l'ouverture de la porte par le présentateur !
En effet, l'ouverture de la porte ne fait que changer les probabilités de gain qui passent de 1/3 à 1/2 sans altérer l'équiprobabilité des événements !!!
Qui a raison ?
Merci aux mathématiciens ( et autres ) qui répondront car une carrière est en jeu LOL
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Je dirais comme toi Lui donner un second choix apres l'ouverture d'une porte fait qu'il doit se decider sur les deux portes qui reste.
Garder le choix initial ou en choisir une autre ne change rien, c'est une chance sur deux.
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par contre.. question regret, la c'est pas equivalent.
Moi je garderais mon premier choix lol
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En considérant que tu adoptes la stratégie proposée (changer d'avis) Si au premier coup tu avais chois la bonne porte (1 chance/3) alors tu perds forcément.
Si au premier coup tu avais choisi une mauvaise porte (2 chances/3), alors en changeant d'avis tu gagnes forcément.
D'où: 2 chances sur 3 de gagner...
Une question : quel rapport avec les échecs ? :o)
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J'ai un problème pire : Vous avez le choix entre deux coffres : l'un contient n pièces et l'autre le double (2n pièces), mais vous ne connaissez pas la valeur de n. Donc vous en désignez un au hasard sans l'ouvrir, il a p pièces (p=n ou p=2n). L'autre coffre contient donc soit 2p soit p/2 pièces, soit en moyenne 5p/4, ce qui est plus grand que p. Vous avez donc intérêt à prendre l'autre ! ... et ainsi de suite... Moralité : vous vous ferez forcément avoir...
Alors, qu'en pensez-vous ? Dites-moi si je n'ai pas été clair...
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pas de rapport entre les deux problemes dans le premier cas il y a une chance sur 3 et dans le deuxieme une chance sur 2.
Et tu peux changer de porte si cela t'amuse...
Et cela se verifie facilement avec 3 boites de pièces d'échecs... ;-)
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Quelqu'un pourrait-il confirmer que ce problème relève de la théorie des jeux de Nash?
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pas sérieux si kotov vivait encore peu-etre aurait-il la solution? désolé...
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antiblitz tu es dans l'erreur Supposons que tu te sois trompé dans ton premier choix (2 chances sur 3). D'après les règles, l'animateur n'ouvre ni la porte que tu as choisie (appelons-la P1) et qui est vide puisque tu t'es trompé, ni celle ou il y a la voiture (appelons-la P2). Donc il ouvre P3 qui est vide. Si tu changes de choix, tu prends P2 et tu es sûr de gagner. Donc dans les 2 cas sur 3 ou tu t'es trompé dans ton premier choix, tu es SUR de gagner si tuchanges d'avis. Par contre dans le cas sur trois ou tu avais bien choisi tu te fais enfler. Donc tu as bien 2 chances sur trois de gagner si tu changes de choix.
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la solution de ce problème se trouve dans un bouquin de raymond smullyan (ou quelque chose comme ça) intitulé les énigmes de shérazade
de mémoire la solution donnée dans le lien est une ânerie.
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Le problème des 3 portes est très connu (et un moyen assez efficace de gagner -ou perdre- des paris :P).
Le truc réside au moment où le présentateur choisit une boite vide. Ce faisant il apporte une nouvelle information, et modifie l'équiprobabilité.
En effet la boîte choisie par le candidat a 33% de chances d'avoir la récompense. Et l'action du présentateur (qui lui connaît le contenu des boîtes), ne change pas cette proba (son action concerne uniquement les 2 autres boîte, c'est assez intuitif). Mais donc forcément la proba pour l'autre boîte a changé, puisque le total doit rester 100%...
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j'ajoute pour compléter ma phrase : "Si tu changes de choix, tu prends P2 et tu es sûr de gagner (sous réserve de t'être tropé dans ton premier choix)."
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il me semble
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par contre antiblitz, la solution que donne ton site, même si elle est correcte, est un peu lapidaire et peu claire.
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je continue il me semble au contraire qu'en ouvrant une porte vide, le présentateur n'apporte aucune information puisquer de toute façon sur les deux portes non ouvertes au moins une était vide
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dans le bouquin précité, de mémoire le problème concernait cent boîtes et je crois me souvenir q
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ref woodpusher relis mon mail. Si tu t'es trompé au début (2 chances sur trois), comme l'animateur ouvre une mauvaise porte, en changeant tu deviens sur de gagner. Donc tu as 2 chances sur trois de gagner en changeant de porte. Mais c'est vrai que c'est assez paradoxal.
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rq j'avais pas vu mais pythontuile avait été très clair et concis sur le sujet.
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grrrrrrrr que l'auteur disait bien que le présentateur pouvait parfaitement ouvrir 98 des 99 boîtes restantes sans que cela augmente les chances de trouver la bonne (à vérifier, si quelqu'un de plus calé ou qui aurait le bouquin pouvait préciser)
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la solution proposée est bien la bonne c'est un problème assez classique de probabilités conditionnelles et il faut effectivement changer de porte (2/3 contre 1/3). La solution est assez contre-intuitive et idéale pour provoquer des débats dans les chaumières ;-)
Sinon pour se convaincre du résultat, plusieurs moyens
- Le fait de savoir une des portes derrière laquelle il n'y a rien apporte une information sur la solution dont on doit tenir compte.
-Imaginer un problème similaire avec 100 portes où l'on ouvre au fur et à mesure les portes derrières lesquelles il n'y a pas de cadeaux jusqu'à ce qu'il n'en reste plus que 2. Si on change de porte, on a une proba de 99% contre 1%.
-Sans doute le mieux: faire l'expérience réelle avec un nombre conséquent d'essais.( 2 cas: "on change systématiquement" et "on ne change jamais").
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oui ok dan31 mais mais si tu t'es trompé au début, or comment peux tu le savoir?
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ok très bien
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oui l'exemple des 100 portes de the duke est frappant. S'il y avait 100 portes, tu as une chance sur 100 au début. Et ce n'est pas parce que le présentateur ouvre 98 portes vides (c'est facile pour lui il connait la réponse) que la porte que tu as ouverte a plus de chances de comporter la voiture. La proba reste a 1/100.
Remarquons que ce ne serait pas le cas si le présentateur ouvrait des portes "au hasard", c'est-a-dire sans savoir ou serait la voiture. Intéressant de réfléchir la-dessus pour comprendre le paradoxe. Mais en pratique, pour un jeu ce serait impossible car il pourrait alors dévoiler la bonne porte sans le vouloir.
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la première solution est bien sûr la bonne. L'illustration donnée par theduke avec 100 portes me semble particulièrement frappante (et donc beaucoup moins adpatée pour soulever des débats enflammés !), car après qu'on t'a ouvert 98 portes perdantes, oseras-tu prétendre qu'en t'en tenant à ton choix initial il te reste toujours une chance sur deux de gagner ? Ici, le choix paraît au contraire très intuitif...
L'autre problème est plus connu sous le nom de paradoxe des enveloppes. Je l'explique en détail pour être sûr que tout le monde aura bien suivi. Quelqu'un vous présente deux enveloppes contenant chacune une somme d'argent, en vous précisant que l'une contient le double de l'autre (par exemple, l'une contient 50 euros, l'autre 100). Vous choisissez l'une des deux enveloppes, et avant de l'ouvrir on vous demande si vous souhaitez l'échanger contre l'autre.
Ce problème est paradoxal dans le sens où on peut démontrer que l'on a toujours intérêt à changer, avant même d'ouvrir l'enveloppe, alors qu'il y a a priori 1 chance sur 2 de trouver plus gros dans l'autre. En effet, si on vous laisse ouvrir l'enveloppe avant de choisir ou non d'échanger, le gain moyen de l'échange est, comme l'a indiqué python, 5/4 du montant que contient l'enveloppe. Quelle que soit la somme contenue dans une enveloppe, vous avez donc en moyenne intérêt à changer et prendre l'autre pour gagner plus. Mais ceci étant vrai indépendamment du montant qui se trouve dans l'enveloppe, on peut en déduire qu'on a intérêt à changer avant même de l'ouvrir. D'où une situation assez cocasse où avant même d'ouvrir une enveloppe, on l'échange contre l'autre, puis on échange à nouveau l'autre etc. Perturbant !
Ce paradoxe avait été largement débattu sur ce forum il y a de cela deux ou trois ans. La réponse des spécialistes en probas pour lever le paradoxe semble être qu'il n'existe pas de mesure de probabilité convenable pour modéliser le problème, parce que cela exigerait de définir une loi de distribution des montants possibles, notamment un montant moyen, chose qui n'est nullement précisé dans l'énoncé.
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croisement avec dan31 pour mon premier paragraphe.
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le seul problème est que je ne vois pas en quoi la solution est paradoxale? moi dans l'exemple donné j'aurais spontanément pensé que la probabilité était de 2/3 en changeant de porte, ça me paraitraît plutôt intuitif
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Donc.. Je joue a la roulette, je mise sur rouge, je perds.. à la prochaine mise, j'aurai plus de chance en misant sur noir ?
bon, ca se trouve ca n'a rien a voir car j'avoue que ca m'echappe un peu tout ca :-)
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Merci à tous Et en paticulier sigloxx qui m'a fait comprendre où était mon erreur ;-)
Un bel attrape nigaud ! lol
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Merci à Fox aussi pour son problème encore plus déroutant mais il ne doit pas être facile de convaincre un contradicteur ;-)))
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@JMC la réponse à ta question est donnée par le deuxième paragraphe de la dernière intervention de dan31. Pour que les deux cas soient analogues, il faudrait que le présentateur ouvre les portes au hasard, mais avec le risque d'ouvrir la porte choisie et/ou la porte contenant le cadeaux. C'est là toute la subtilité :-)
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les 2 enveloppes il est indifférent d'en changer car dans un cas tu gagnes n euros, dans l'autre cas tu perds n euros.
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Puisqu'on est dans les probabilités ... A la roulette, je mise une somme n sur une couleur. Si je gagne, j'ai gagné n et je refais ma manip.
Si je perds, je perds n. Je joue alors x * n (x >= 2) sur la meme couleur (ou pourquoi pas l'autre). Si je gagne, j'ai gagné (x-1) * n. J'arrete et je recommence.
Si je perds, j'ai perdu (x+1) * n. Ainsi de suite, je mise maintenant x² * n puis x^3 * n ... Dans tous les cas, je gagnerai un moment si l'on considère que je peux miser indéfiniment.
Exemple : (avec n = 1 et x = 2). Je joue toujours sur le rouge le double de la mise précédente. Après un certain temps, le rouge tombera et je gagnerai n, soit 1 euro. Le choix de n et de x semble assez raisonnable puisqu'il faudrait une poisse énorme ( = il y a une très faible probabilité :) ) pour ne pas tomber sur le rouge après quelques coups.
Question : Cette manoeuvre qu'on appelle martingale, il me semble, a-t-elle une faille si l'on considère n et x assez petits (parce que je n'ai pas beaucoup de sou !). Quelqu'un l'a-t-il déjà essayé ? Existe-t-il une interdiction de jouer de cette façon ? Merci d'avance.
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ref clowntriste Cette martingale est autorisée puisqu'elle ne marche pas car, pour cela, il faudrait une fortune illimitée ....
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Et là, si je me trompe... je me ....
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je m'automutile Je cherchais le mot juste ;-)))
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exact si tu as par exemple 4096 euros de "garantie" et que tu appliques cette méthode à une roulette qui ne contient pas de zéro : statistiquement tu vas gagner 1 euro 2047 fois (et su seras donc à 6143 euros de "garantie") puis la 2048ème fois tu va avoir très chaud, avec 11 noirs à la suite, et tu devras miser 4096 pour finalement gagner ton euro. Enfin tu vas continuer à gagner un euro pendant 2047 fois de plus, montant tes économies à 8191 euros. Mais là pas de bol, le noir va tomber 12 fois de suite, et tu ne pourras pas miser les 8192 nécessaires pour doubler encore une fois, puisqu'il te restera seulement 4095..
Au final, au bout de 4096 "rien ne va plus" tu auras perdu 1 euro. Du moment que tu as un plafond, quel qu'il soit, cette méthode est donc même globalement perdante (plus perdante que de miser alétoirement 1 euro à chaque fois).
Et en plus il y a le zéro, sur les roulettes, ce sur quoi compte le casino pour engranger des sous.
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D'ailleurs En ce qui concerne les jeux de casinos,l'EV (l'espèrance de gain) est négative pour la plupart (ce qui n'a rien d'étonnant).
Seules exceptions :
- Certains videopoker avec jackpots, en étant organisé (en équipe) et en monopolisant une machine dont le jackpot a atteint un certain niveau (il y a des pros qui font ça dans les casinos US). Et encore faut-il jouer à la perfection pour que l'EV soit positive.
- Le blackjack, à l'unique condition d'avoir une mémoire vraiment exceptionnelle (i.e exceptionnelle comme 1 personne sur 500 000, pas juste une très bonne mémoire), de connaître très bien le jeu, et de jouer dans un casino qui ne grille pas un trop grand nombre de cartes et utilise moins de 7 decks.
Et evidémment le poker - non proposé dans les casinons français - qui est un jeu de stratégie (le casino a une EV positive puisqu'il prélève de l'argent sur chaque pot, mais les bons joueurs ont également une espèrance de gain positive. Bref les perdants perdent globalement plus que les gagnants ne gagnent).
Tout ça pour vous déconseiller d'aller dépenser bêtement vos sous aux casinos ;).
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de plus les couleurs à la roulette ... ne "valent" pas 50% chacune puisque le "zéro" n'a pas de couleur !
Il n'appartient pas non plus à aucune des "chances simples", Voir Ici, en bas de la page, merci Google ! ;o)
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Sigloxx plus rapide ! ;o)
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Tiens, j'ai déjà posté ça, mais il y a belle lurette :
Astronaute sur une planète bizarre, vous devez trouver d'urgence une station de kérosène pour votre fusée. Vous vous trouvez devant deux routes possibles et devant deux autochtones.
Cette planète est habitée par des menteurs qui mentent toujours, et des véraces, qui disent tjs la vérité. Vous savez que vous avez devant devant vous un menteur et un vérace, sans pouvoir les distinguer. Vous avez droit à une seule question pour trouver la bonne route... Laquelle leur poserez-vous ?
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Est ce que tu ments ?
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heu.
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selon ton voisin... ... quel est la bonne route ?
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que dirait l'autre si je lui demandais quelle est la bonne route? et tu prends l'autre
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je me souviens ma famille a failli péter un câble le jour où je leur ai proposé celle-là... Même en connaissant la solution, ils ont fait l'expérience quinze fois pour vérifier...
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Est ce que tu ments ? Le vérace dira "non" et le menteur ne pourra pas répondre à la question car si il disait "oui", il dirait la vérité, ce qui lui est interdit; et si il disait "non", cela voudrait dire que c'est un vérace, ce qui est faux !!!
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@ antiblitz: tu sauras qui ment, mais ça ne te dira pas quelle est la bonne route
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Pardon oups ! Plus précisément puisqu'on parle de deux routes, il faut poser la question : "Est ce que tu ments si tu m'indiques cette route x ( et non y ) ?"
Comme précédemment, le menteur ne pourra pas répondre et si le vérace répond "oui", on prend la route y , si il répond "non", on prend la route x !!!
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Compléments... Pourquoi le menteur ne peut pas répondre ?
Si c'est la route x la bonne, le menteur doit donc répondre "non" pour mentir mais admettre par là qu'il ne ment pas et qu'il est donc un vérace !!!
Si c'est la route y la bonne, le menteur doit répondre "non" aussi pour mentir et ce serait un vérace puisque il ment en disant qu'il ment !!!
Conclusion : Le menteur ne peut que se taire ;-)
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La réponse est dans mon profil ;-)
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antiblitz tu seras bien avancé quand le menteur ne pourra pas répondre: tu prends quelle route, alors ?
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oui antiblitz tu délires un peu là :-)
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antiblitz sera paumé... ...mais il pourra se venger en cassant la figure du menteur.
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ref puch, Fox et grandesorcière... Je pose la même question au deux et seul le menteur ne peut pas y répondre et , dans le cas du vérace, j'ai écrit plus haut :
"Plus précisément puisqu'on parle de deux routes, il faut poser la question : "Est ce que tu ments si tu m'indiques cette route x ( et non y ) ?"
Comme précédemment, le menteur ne pourra pas répondre et si le vérace répond "oui", on prend la route y , si il répond "non", on prend la route x !!!"
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ref alobert Tu dis que l'on a le droit à une seule question !
Peux tu mettre cette question précisément dans ton profil car j'avouve que ta soluce n'est pas claire pour moi ;-(((
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Question subsidiaire ! Où est le défaut dans mon raisonnement ou, plus exactement, ma question est elle aussi une solution, si non, pourquoi ?
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ref Alobert C'est bon ! J'ai enfin vu la question ( je me lève lol );-)
Ceci dit, où est donc la faille dans ma soluce ?
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Ref J'ai un problème pire : par pythontuile Trésor n ou 2n : Cet énoncé ne résiste pas longtemps car la méthodologie du choix de n manque cruellement.
En revanche il est un excellent point de départ pour un autre problème sur lequel je me suis longtemps torturé les méninges et qui est à ce jour et à ma connaissance tout à fait irrésolu. N'hésite pas à me contacter par mail si ça t'intéresse.
Les trois portes : Evidemment qu'il faut changer de porte. Un autre moyen de s'en convaincre est de dérouler les cas. Il y a trois portes A, B et C, je ne déroule que les cas où la voiture est derrière A, il est facile ensuite d'étendre aux cas où la voiture est derrière B ou C :
1) D'abord sans changer de porte
a Premier choix A, Présentateur ouvre B ou C : GAGNE
b Premier choix B, Présentateur ouvre C : PERD
c Premier choix C, Présentateur ouvre B : PERD
2) Ensuite en changeant de porte
a Premier choix A, Présentateur ouvre B ou C, Second choix C ou B : PERD
b Premier choix B, Présentateur ouvre C, Second choix A : GAGNE
c Premier choix C, Présentateur ouvre B, Second choix A : GAGNE
CQFD : Double chances de gagner avec la stratégie 2).
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ref antiblitz l'énoncé d'alobert était très flou c'est vrai. Il aurait dû écrire : "vous avez le droit à une seule question, que vous devez poser à un seul des deux, pour trouver la bonne route. Laquelle poserez-vous ?"
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la question à poser est que mon répondrait ton collegue si je lui demandais est ce que cette route x est la bonne ?
Si la réponse est oui ce n'est pas la bonne route et il faut suivre la route Y
Si la réponse est non c'est la bonne route
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problème des 3 portes comme l'indique Peres, une autre façon de comprendre la subtilité est de considérer qu'il y a deux variables aléatoires, la première étant la boite qui contient les cadeaux et la seconde étant la boite que va ouvrir l'animateur.
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Une autre.. Une secte, les membres de la secte ne peuvent communiquer entre eux par quelques moyen que ce soit (parole, geste..).
Par contre, ils se voient tous entre eux mais ne peuvent se voir eux memes. (pas de miroir..).
Un jour, le gourou arrive et annonce..
"Certains d'entre vous ont des boutons sur le visage, ces personnes là doivent se suicider."
Le lendemain, il revient et constate que ces personnes ne se sontpas suicidées, il repète donc..
"Certains d'entre vous ont des boutons sur le visage, ces personnes là doivent se suicider".
Le 3 eme jour, il revient et toujours personne qui s'est suicidé, il répète donc une troisieme fois sa recommandation.
Le quatrième jour, il arrive et constate que tous ceux qui avaient des boutons se sont suicidés.
La question, vous l'avez deviné, combien de personne(s) suicidée(s) ?
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JMC : Il faut ajouter qques précisions Chaque nuit chaque membre est isolé dans sa chambre, ils vont grossomodo tous se coucher et se lèvent en même temps et enfin le suicide s'effectue obligatoirement la nuit.
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oui elle est très connue je la connaissais plutôt sous la forme de l'histoire des bonnets rouges et blancs.
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Je l'ai sous cette forme LE PROBLEME DES COCUS DE BAGDAD
Le Khalife de Bagdad, irrité par la présence de cocus dans sa ville, fit prendre par son Grand Vizir l'édit suivant : "tout habitant de Bagdad qui se rendra compte que sa femme le trompe, devra l'égorger la nuit suivant le jour où il s'en sera rendu compte".
Il y avait 32 cocus dans la ville. Il advint qu'il ne se passa rien pendant 32 jours, et que le trente-troisième matin, quand Bagdad se réveilla, les trente deux femmes indignes avaient été égorgées.
Expliquer le raisonnement que se sont faits les cocus, en sachant toutefois que les habitants de Bagdad sont d'excellents logiciens, et que chaque homme peut dire avec certitude, si un autre que lui est ou non cocu, mais n'a aucun moyen matériel de statuer sur son propre sort.
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Grandesorciere A les Abbassydes, ca n'a pas amené que les milles et une nuit :-)
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Hors de propos mais le Rasmussen, il semble sacrément dopé nan ?
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Solution Signalons d'emblée que, seule l'authenticité du problème, découvert récemment dans un manuscrit du XIe siècle, a pu vaincre notre répugnance à publier un texte aussi marqué par la morale traditionnelle "chauvine mâle".
Dans ce problème, une chose est trompeuse : c'est le choix de 32 alors que c'est clairement un raisonnement par récurrence sur le nombre de cocus qui doit s'imposer.
Supposons en effet qu'il y ait un cocu à Bagdad. L'édir du Khâlife lui apprend qu'il y a des cocus à Bagdad, et il est le seul à pouvoir être éventuellement cocu (puisqu'il sait que les autres ne le sont pas). La conclusion ne se fait pas attendre, la nuit suivant la parution de l'édit il affute son couteau, et...
Remarquons le fait suivant : dans le cas qu'on vient de voir, il faut en toute rigueur que l'édit dise explicitement : "il y a des cocus à Bagdad", ce qui n'est pas nécessaire pour n supérieur ou égal à 2 puisqu'alors l'existence de cocus est un fait patent.
Formulons l'hypothèse de récurrence H(n)
S'il y a n cocus à Bagdad, alors leurs femmes seront égorgées la nième nuit après parution de l'édit.
Supposons qu'il y ait n+1 cocus a(0), ..., a(n).
- raisonnement de a(i) : "Si je ne suis pas cocu, c'est donc qu'il y en a n, et ils égorgeront leur femme la nième nuit. J'attends donc le (n+1)ième matin et constatant qu'il ne s'est rien passé, j'affute mon couteau pour la nuit suivante".
- raisonnement de b qui n'est pas un a(i) : "Il y a n+1 ou n+2 cocus, j'attends donc de toute façon le (n+2)ième matin avant de faire quoi que ce soit"
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Epilogue Note historique sur le destin de Bagdad
Haroun al Rachid XXXXIII, voulant perpétrer la tradition de ses ancêtres, voulut éliminer les cocus de sa ville. Il y en avait à l'époque 1001 (sur les 200 000 habitants de Bagdad). Et tous ces cocus, vivant dans la luxure, étaient complètement abêtis par l'alcool.
En comptant les 1001 nuits fatidiques, ils oublièrent plusieurs nuits, et le 1002ième matin, rien ne s'était passé. Le résultat tragique fut bien sûr que la 1002ième nuit, toutes les femmes mariées de Bagdad furent égorgées... sauf bien sûr les femmes indignes.
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Ref JMC Tu évoquais les 1001 nuits... elle ne se cachaient pas bien loin ;-)
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Ce que j'aime bien sous cette forme, c'est d'une part l'épilogue et d'autre part le fait réaffirmé que lorsqu'on est cocu, on est toujours le dernier au courant :D
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vivement que chouia découvre ce fil :-)
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Ref Fox J'y pensais aussi :D
Une remarque sur cet exemple de rédaction de la solution : Je pense que pour n=2, il faut quand même que l'édit dise explicitement qu'il y a des cocus à Bagdad. Sinon, au lendemain de la première nuit, chacun des deux cocus peut se dire que si l'autre n'a pas égorgé sa femme, ce n'est pas forcément parce qu'ils sont deux à être cocu mais c'est peut-être parce que, l'autre pouvant être seul, l'existence de cocus à Bagdad n'est pas un fait avéré pour lui et dans le doute, il a préféré s'abstenir.
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Dit autrement Ce n'est qu'à partir de 3 cocus qu'il est patent que l'existence de cocus à Bagdad est un fait patent.
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ref grandesorcière Très jolie et convaincante explication ;-)
Ref Fox: Je n'avais en effet pas compris pour le coup de l'unique question à une seule personne !
Je deviens vieux ;-(((
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J'ai du mal à avaler cette histoire de cocus. Si tout le monde s'ignore cocu mais connait la situation de son voisin de palier cela signifie que si l'on prétend qu'il y a "des" cocus à Bagdad , il suffit qu'il en identifie 2 pour supposer les avoir identifiés tous . Le seul cas où il se découvrirait cocu est celui où évoquant un pluriel il n'en découvre qu'un , ce qui implique qu'il l'est lui-même . Autrement dit, un cocu peut identifier tous les autres mais n'est capable de s'identifier lui-même que s'il identifie un seul cocu alors que l'édit mentionne un pluriel . S'il y a plus de deux cocus sur Bagdad il est impossible qu'un cocu se reconnaisse , non ? Mais j'ai peut-être rien compris .
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Cela depend au bout de combien de jour les suicides s'effectuent. On me dit, certains sont cocu le premier jour.
si je sais qu il y en a aucun, je suis sur d'etre concerné donc je me suicide le premier jour.
si par contre, je sais qu'il y en a un, je ne peux savoir me concernant.
Mais le lendemain, celui qui est cocu ne s'est pas suicidé, la seule raison est que lui sait que je suis cocu egalement.
Et le raisonnement est reciproque pour nous deux.
Nous nous suicidons donc le deuxieme jour.
>
Supposons maintenant qu'au depart, je connais deux cocus, le lendemain je me dis, normal qu'ils ne se soient pas suicidé (raisonnement ci dessus qui s'appliquent a eux deux).
Mais supposons que le troisieme matin, les deux sont toujours là, cela implique que je le suis egalement, on se suicide donc le 3 eme matin et ainsi de suite.
Bon, c'est pas super clair mais c'est un truc comme ca :-)
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Ref JMC Je trouve ça assez clair.
Google est ton ami Struggle:
Une autre explication
Un problème similaire avec une dénouement moins sauvage
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@JMC , mort de rire !! , il ne s'agit pas pour le cocu de se suicider mais...de tuer sa femme !
C'est la notion de pluriel qui me gêne.
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Tu as tout à fait raison Struggle, j'allais faire remarquer que l'énoncé de JMC est incorrect (en + des précisions manquantes notées + haut), tandis que celui de grandesorciere est ok.
Enfin pour être plus précis l'énoncé de JMC est correct mais il faut décaler tout le raisonnement de un coup. S'il y a 3 boutonneux alors ils se suicideront la seconde nuit, si 4 le 3ème etc.
Donc en l'état la réponse à ta question JMC est "4 suicidés", je ne pense pas que c'était la réponse que tu attendais mais pourtant c'est celle qui répond à ton énoncé.
Pour obtenir la réponse que tu attends à savoir 3 il faut reformuler la phrase du gourou comme suit : "Au moins un d'entre vous a des boutons sur le visage, chaque concerné doit se suicider."
Question subsidiaire, quelle est la réponse si le gourou déclare "Chaque personne ayant des boutons sur le visage doit se suicider." (rien ne dit qu'il y en a) ?
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Je n'avais pas vu mais le premier lien donné par grandesorciere explicite la problématique de la cardinalité de l'énoncé, on peut en fait généraliser par la formule : Nb d'itérations (=nuits) = Nb de concernés (cocus, boutonneux etc...) - Nb minimum indiqué par l'énoncé + 1.
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@peres , merci , je suis ému...
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;o) Enfin Struggle en te relisant je ne suis plus bien sûr qu'on parle exactement de la même chose. Notamment quand tu demandes S'il y a plus de deux cocus sur Bagdad il est impossible qu'un cocu se reconnaisse, non ?, je réponds si bien-sûr mais un jour plus tôt si dans l'énoncé il y a un pluriel (du reste je répète que dans celui de grandesorciere il n'y en a pas donc pas de prob).
Désolé Struggle :o)
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(si bien-sûr c'est possible)
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..... Mais pourquoi choisir les cocus dans un lieu aussi chaud !
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Eh non Il y a bien égalité entre le N° de la nuit et le nombre de concernés. Bien sûr que s'ils sont 3 ils ne tuent/se suicident pas la 2e nuit. Il suffit de voir le cas n=1 pour se rendre compte que c'est absurde : on ne va quand même pas revenir à la 0-ème nuit !
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Euh, Le cas n=1 en effet est impossible si on indique le pluriel. Je n'avais pas fait attention à cette distinction.
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Ah , je respire ! Alors , qui dois-je croire? Cyrillev ou Peres ? A priori , je pencherais plutôt pour Cyrillev .;-))
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Ben ça dépend Si on insiste sur le pluriel comme une information claire, alors c'est à la N-1 eme nuit que N personnes meurent. Sinon, c'est à la N-eme. Le cas absurde de N=1 étant levé par le pluriel.
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Ref Struggle : Tu dois croire Peres of course et sa formule générale. Cyrillev va en convenir quand il aura fini ses réflexions à voix haute :o)))
Ceci dit j'attends toujours la réponse à ma question subsidiaire.
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En bref , je reste scotché à l'exception...
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Quelle exception struggle ? As-tu lu attentivement et compris la solution proposée par grandesorciere ? Si oui où est la faille dans son raisonnement d'après toi ? Si non où est-ce que tu décroches ?
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Sur base de l'explication de grandesorcière il me semble que l'emploi du pluriel fausse le raisonnement et , comme je le disais :
Si tout le monde s'ignore cocu mais connait la situation de son voisin de palier cela signifie que si l'on prétend qu'il y a "des" cocus à Bagdad , il suffit qu'il en identifie 2 pour supposer les avoir identifiés tous . Le seul cas où il se découvrirait cocu est celui où évoquant un pluriel il n'en découvre qu'un , ce qui implique qu'il l'est lui-même . Autrement dit, un cocu peut identifier tous les autres mais n'est capable de s'identifier lui-même que s'il identifie un seul cocu alors que l'édit mentionne un pluriel . S'il y a plus de deux cocus sur Bagdad il est impossible qu'un cocu se reconnaisse , non ? Mais j'ai peut-être rien compris .
C'est ce que je qualifie "d'exception".
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Pour le dire autrement , je crois que tant que le nombre reste indéterminé , un cocu ne peut s'identifier que s'il est question d'un pluriel et qu'il ne connaît qu'un cocu . Un cocu ne pourra s'identifier comme tel que s'il sait que la ville compte x cocus et qu'il en dénombre x-1 . En le reformulant je m'aperçois que je ne lève pas une exception mais que je valide le raisonnement . J'avais compris mais je l'ignorais...
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cette enigme est un excellent exemple -bien qu'un peu macho- du raisonnement par récurrence ... la proposition de départ doit être "il y a au moins 1 femme adultère".
Si toutes les femmes étaient fidéles, le vizir serait un mysogine absolu (et efficace) puisqu'au premier matin, toutes les femmes mariées de Bagdad sans exception seraient zigouillées ...
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Ce qui cloche un peu dans l'énoncé tout de même c'est qu'on dit que si le panneau affiche un pluriel, alors c'est N-1 mais sinon c'est N, pour tout N, alors que si N>2 le pluriel est connu de tous.
En fait on dit que chacun conclut après la première nuit qu'il y en a un de plus que dans l'énoncé, mais ça reste une hypothèse sur le mode de réflexion des habitants de Bagdad, qui considèrent comme une information supplémentaire quelque chose qu'ils savaient déjà que tout le monde savait déjà. Mais il n'y a pas de meilleure solution ...
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Oui Cyrillev mais il faut généraliser la réflexion, il n'y a pas lieu de faire un cas particulier de la connaissance apportée par l'énoncé. Par exemple s'il y a 10 cocus, l'hypothèse "Si quelqu'un voit 5 cocus alors 5 se suicideront la 4/5ème nuit" sera forcément implicitement faite. Alors que tout le monde sait très bien que personne ne voit 5 cocus.
C'est justement la subtilité de la chose, bien que tout le monde sache qu'il y a au moins 9 cocus (pour les cocus eux-mêmes, les autres sachant qu'il y en a 10 au moins), ils ne peuvent rien faire avant le 9ème jour et courcicuiter l'itérateur.
Struggle : Ca y est, tu crois le Peres ? Si oui c'est que tu as compris :o)
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Dans le genre processus itératif troublant j'en ai un autre sympa mais d'abord j'attends la réponse à ma question subsidiaire (j'accepte aussi les réponses par mail n'est-ce pas chouia :o)) )
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Disons qu'à défaut de croire Peres ;-)) , j'ai compris le raisonnement mais un scepticisme persiste quant à la validité du problème et là , je rejoins Cyrillev . C'est cette impression qui m'a masqué la réponse . Je n'ai pas de réponse à ta question suicidaire ;0) , désolé , mais je m'en vais proposer un problo également.
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ref peres jib semble avoir proposé une réponse à ta question subsidiaire...
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Non , la phrase proposée devrait être "il y a au moins deux femmes adultères".
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Ce problème m'énerve et j'aimerais bien qu'on m'explique car si le pluriel est utilisé ceci implique qu'il y a au moins deux femmes adultères . Pour que le problème puisse être résolu il faut ensuite dire que le nombre de cocus est clairement définis et le citer mais aussi que chaque homme sait avec certitude qui l'est dans la ville mais ne connaît pas sa propre situation . Ceci étant , chaque cocu peut immédiatement conclure qu'il l'est et trucide sa femme au cours de la première nuit !
Si l'un des termes n'est pas précisé ou respecté on ne peut pas trouver la solution sauf au cas où le pluriel serait utilisé mais le nombre non précisé et que le cocu n'identifie avec certitude qu'un seul autre cocu . La résolution en cas de formulation incomplète n'est donc possible que s'il y a deux cocus dans la ville...
Par ailleurs si les cocus ne sont pas capables de faire immédiatement le raisonnement qu'est-ce qui permet au premier cocu de prendre la décision de trucider sa femme ?
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Si Struggle continue... ... je vais finir par ne plus comprendre :P
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apres avoir pas mal reflechi au pb de la secte sans avoir trouve de reponse j ai regarde le lien de grandesorciere...
dans l enonce: "Chaque mari sait quelles sont les femmes infidèles des autres maris, mais ignore si sa propre femme l'est ou non.
"
dans la solution: "Chacun sait qu'il y a au moins deux femmes infidèles à Bagdad.
Supposons qu'il y ait eu exactement deux femmes infidèles.
Chaque mari cocu ne connaitrait qu'une seule femme infidèle chez les autres.
Il en déduirait donc ....
dans la conclusion: "Les meurtres ayant lieu le 13èmesoir, on en déduit que Bagdad comptait 14 maris trompés"
ouaip ben moi je dis que si il y avait 14 cocus et que tout le monde le savait, personne n aurait raisonner en partant du fait qu il n y en a que 2...
alors soit j ai melange entre ce que nous savons et ce que les maris savent (ce aui est possible, je suis creve) soit le probleme est faux...
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Ref Peres et la formule magique Chaque personne ayant des boutons sur le visage doit se suicider." (rien ne dit qu'il y en a)
Avec ta formule, on Nb nuits = x-0+1, donc si x = 1, on a deux nuits.
Et je ne vois pas comment le boutonneux peut déterminer qu'il l'est, il lui manque une info (la condition d'arrêt de la récurrence :o)).
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Paradoxe de Bertrand A ma connaissance ce paradoxe est appelé
"Paradoxe de Bertrand".
un EXCELLENT article de IAN STEWART nommé
"Persée, Piegase et Andromède" raconte une très belle histoire basée sur ce paradoxe.
Pour ceux qui pourraient le retrouver c'était dans la revue "Pour la science N°167" de septembre 1991.
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Ouf Nirna ! Je n'y croyais plus ! Ceci dit ça n'est pas la condition d'arrêt mais de départ de la récurrence qui manque ! Celà participe aux résultats étonnants de ce raisonnement.
Si l'info "Il y a au moins 1 cocu" est manquante de l'énoncé, le raisonnement ne peut démarrer.
Et ce, même s'il y a 10 cocus et que tout le monde sait qu'il y a au moins 9 cocus !
En somme une info de l'énoncé qui n'apprend rien à personne est indispensable. Celà va sans doute achever de plonger dans un abîme de perplexité quelques intervenants !
Fox : Non pas vraiment, d'une part jib n'explique pas à quelle partie du raisonnement celà ferait défaut et d'autre part il mélange info donnée par l'énoncé et réalité de cocufiage de la ville. Evidemment s'il n'y a aucun cocu, aucun raisonnement correct ne devrait amener quiconque à égorger qui que ce soit.
Struggle : Je ne comprends pas grand chose à tes explications. Il n'y a ni premier ni dernier cocu et je ne comprends pas ce que tu entends par "le nombre de cocus est clairement définis et le citer"
petitesorciere si il y avait 14 cocus et que tout le monde le savait, personne n aurait raisonner en partant du fait qu il n y en a que 2 : ben si justement, tout est là. C'est la seule solution !
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Bon alors l'autre problème : 999 lions sont dans un enclos. Tous excellents logiciens et tous affamés.
On leur jette un et un seul bout de barbaque, la question est : Vont-ils se jeter dessus pour le manger ?
Il faut préciser que seul un lion peut le manger (règle de discrétitude de la barbaque) et que juste après il s'endormira pour digérer et deviendra donc lui-même en tant que lion sans défense un bout de barbaque potentiel pour ses confrères.
Le but de chaque lion est avant tout de rester en vie, ensuite se remplir la panse si possible.
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Question 1. Est-ce que chaque lion sait que les 998 autres sont d'excellents logiciens ?
2. Est-ce que chaque lion sait que les 998 autres sont affamés ?
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La difficulté pour moi c'est de résoudre le point suivant : comment s'appuyer sur le fait que les 998 autres fassent primer leur survie sur leur appétit pour manger le bout de viande (je ne serai pas mangé car si je suis mangé celui qui me mange sera mangé) alors que c'est ce même raisonnement qui me pousse à manger le bout de viande...
Je crois donc que les 999 lions vont s'asseoir et se gratter la
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mince... tête en réfléchissant au problème. Or, un lion qui se gratte la tête se l'arrache ==> il se suicide ==> on revient au problème des cocus suicidés. CQFD. (C'est pas ça ???).
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@Peres, je pense que l'énoncé du problème est faux ou comprend des lacunes .
Tous les hommes de la ville ont une connaissance de la situation des autres mais pas d'eux-même . Dès lors que ce nombre est > 2 il faut connaître le nombre total pour résoudre le problème. Dans cette situation , le seul moyen de connaître sa propre situation est de connaître le nombre précis existant , N , et d'en tirer les conclusions si l'on connaît(N-1) cocus autour de soi . Au cas où ce nombre total n'est que de 2 il faut que l'énoncé fasse état d'un pluriel et que le cocu en identifie un dans la ville pour connaître sa situation .
La connaissance du nombre total de cocus implique que chacun peut en tirer immédiatement les conclusions et qu'il n'est alors pas nécessaire d'attendre (N-1) nuits pour trucider sa femme .
Si le nombre total est inconnu mais que l'énoncé fait mention d'un pluriel on se trouve dans une situation où tant qu'il y aura plus de deux cocus dans la ville on ne pourra pas tirer de conclusions par rapport à soi-même et on devra attendre que la ville ne compte plus que deux cocus pour conclure qu'on est le deuxième or , diminuer le nombre total pour finalement arriver à deux n'est possible que si "l'épuration conjugale" démarre mais personne ne peut avoir de certitude quant à sa propre situation tant qu'un nombre >2 de cocus existe dans la ville mais est imprécisé . Aucun cocu ne peut donc décider avec certitude d'être le premier à trucider sa femme et le nombre total ne diminuera donc pas pour ramener celui-ci à deux . Le problème est alors impossible à résoudre.
En résumé , pour tout nombre N >2 il est nécessaire de connaître N , ce qui permet à chacun d'en tirer ses propres conclusions et de trucider immédiatement la femme adultère . Au cas où N=2 il n'est pas nécessaire de connaître le nombre N précis , l'emploi du pluriel suffisant , et les cocus suppriment leurs femmes immédiatement .
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Le second problo de Peres consiste à définir une solution intermédiaire. Il ne faut pas optimaliser le profit et bouffer la bidoche mais maximiser le profit.
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Hé hé hé ! Moi, je me précipite le premier sur la barbaque et la bouffe !!!
En effet, mon objectif premier est de rester en vie, mon second de bouffer.
Et, hypothèse fondamentale, un seul lion peut manger la barbaque disponible.
Je bouffe le premier, je m'endors sereinement sur mes deux oreilles, et je laisse les autres réflechir au fait suivant :
Le prochain qui voudra manger devra me manger en totalité (hyptohèse de discrétude), et ma corpulence dépasse largement le contenu de son estomac.
La rupture du dit estomac entrainera immanquablement la mort de son propriétaire, ce qui irait à l'encontre de l'objectif premier.
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je ne connaissais pas le deuxième problème de Peres, qui est passionnant. Ca ressemble davantage à un problème d'informatique (un raisonnement qui boucle) que de maths, en tout cas j'attends avec impatience la réponse...
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... Avec 2 lions, personne ne mange évidemment.
Du coup, le même problème avec 3 lions, ils ont intérêt à se précipiter sur la viande pour se ramener au problème précédent.
Du coup, avec 4 lions, on a aucun intérêt à manger sinon on est sûr de se faire bouffer vu qu'on se sera ramené au problème avec 3 lions.
Donc, avec 999 lions, il faut manger, mais pas avec 998 ou 1000.
Bon, j'imagine que je suis tombé dans le piège mais où?
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grrr... ce sera
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Ref Struggle Les hommes ont une connaissance du nombre exact de cocus, à un près : eux-mêmes.
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@nirnaeth, exactement et c'est la raison pour laquelle tant que N n'est pas connu ils ne peuvent savoir qu'ils le sont.
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Aucun des lions n'a intérêt à manger la viande . Il faut que chaque lion choisisse une solution sous-optimale à savoir , rester en vie , ne serait-ce qu'à court terme .
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Pour le probleme des lions je crois me rapeller l avoir vu dans le livre qui rend fou
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joli, yger !
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Je crois que votre raisonnement sur le probleme avec les coffres est faux.
en effet il ne tient pas compte de la perte du a l abandon de l enveloppe initiale:
il y a p pieces dans le coffre choisi on a donc:
une chance sur deux de gagner 2p pieces (et donc de perdre p pieces) soit gain total = p
une chance sur deux de gagner p/2 (et de perdre p) soit "gain total" = -p/2
mais ici P EST 2 FOIS PLUS GRAND QUE DANS LE CAS PRECEDENT (en gros dans le 1er cas p=50 euros qlors qu ici p=100 euros)
l esperance de gain en changeant de coffre est donc 0.5*p + (-2p/2 * 0.5) = 0
donc on ne gqne rien en changeant de coffre
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Quelqu'un a le lien sur le fil initial parlant du paradoxe des enveloppes please?
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ref petiteglise je comprends bien où tu veux en venir, mais ton raisonnement manque de rigueur. Si tu supposes que tu as ouvert le coffre et connaît le nombre de pièces p qui s'y trouve, alors p est fixé une fois pour toutes. Tu ne peux plus, comme tu l'affirmes, dire que "ici p est deux fois plus grand que dans le cas précédent".
En affirmant cela, tu fais donc de p une variable aléatoire, et justement tu mets le doigt sur le paradoxe : on n'a pas défini de loi pour cette variable.
En revanche, un moyen simple de "prouver" qu'on ne gagne rien à changer de coffre est de nommer d la différence de montant entre les deux coffres. Ici, en changeant, on a une chance sur deux de gagner d, et une chance sur deux de perdre d. Donc ça ne change rien. Le paradoxe vient du même point : d est en fait une variable aléatoire dont on n'a pas défini la loi.
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Oui bon C'est quand même grosso modo ce qu'il dit, en d'autres termes certes, mais grosso modo.
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Le paradoxe disparait dès que l'on donne un moyen concret de choisir "au hasard" le montant des enveloppes. Il est bien sûr impossible de définir une loi uniforme sur les réels, ou même les entiers positifs.
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Je crois qu'Yger tient une piste pour les lions... Si deux lions, celui qui mange en dernier est gagnant, puisque seul survivant.
Si trois lions, idem, le dernier à manger est gagnant.
Le premier mange la barbaque, s'endort. Reste deux couillons qui savent que le premier des deux qui croûte le dormeur se retrouve perdant. Donc aucun interêt à manger le dormeur.
A 4, c'est plus marrant. Le premier lion bouffe la barbaque et s'endort. Le second le bouffe, on retombe sur le cas précédent, et lui a la vie sauve. Le premier n'a donc pas interêt à manger.
A cinq, le premier bouffe, et on retomberait sur le cas désavantageux à 4 s'il sert de dessert. Donc il reste vivant.
A 999, il faut manger en premier et prier pour que les copains ne soient pas trop cons.
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petiteglise a parfaitement raison ! Il a donné la réponse que j'attends de mes ouailles à ce problème. C'est un exemple typique de problème logique déguisé en problème de proba. Les deux cas de petiteglise peuvent être considérés comme deux réalités parallèles suivant l'enveloppe choisie au départ.
Le "paradoxe" provient d'une ambiguïté sur les variables (confusion implicite de ce qui est fixé entre "montant de l'enveloppe pauvre" et "montant de l'enveloppe choisie").
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ref Cyrillev "C'est quand même grosso modo ce qu'il dit, en d'autres termes certes, mais grosso modo."
Et puis ? J'ai juste indiqué que ce qu'il disait manquait de rigueur, parce que grosso modo en maths, ça n'existe pas.
De plus, il sous-entend qu'il n'y aurait aucun paradoxe ("votre raisonnement sur le problème des coffres est faux"), alors qu'il y en a bien un, sa preuve n'étant pas plus recevable que l'autre qui indique qu'il y a intérêt à changer, si ce n'est qu'elle évite de heurter le sens commun.
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je viens de trouver exactement presque mot à mot ce qu'a dit petiteglise sur le site Wikipedia (ainsi que toute une foule d'autres paradoxes), mais je continue à rester sceptique sur cette présentation.
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Pour le coffre. "L'autre coffre contient donc soit 2p soit p/2 pièces, soit en moyenne 5p/4"
L'opération de mise en facteur du "p" réalisée ci-dessus n'est pas permise ici car la notation "p" dénote en réalité deux quantitées différentes (dans le premier cas il vaut "n", dans le second cas "2n").
Ce qui est contre-intuitif est que l'espérance de x/y n'est pas nécessairement égal à l'espérance de x sur l'espérance de y. Ainsi il est possible d'avoir E(x/y) > 1 et E(x) = E(y) comme ici.
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ok avec niko
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distinguer "p" et "n" est en effet une bonne façon de lever la confusion sur les variables. C'est n qui est fixé, p dépendant du choix de départ. Fixer à la fois p et n fixe tout, il ne reste plus rien du problème, sauf à faire de la divination.
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A propos de paradoxe, Proust avec une phrase admirable, avec laquelle beaucoup de mathématiciens seront sans doute d'accord: "Les quoique sont toujours des parce que méconnus."
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Bon au point où on en est... L'ensemble de tous les ensembles existe-t-il ?
L'arithmétique des "Principia Mathematica" contient-elle des propositions indécidables ?
Combien y a-t-il de possibilités pour un roi de se rendre de a1 en h8 en exactement n coups (n>=7) ?
Sur une navette spatiale allant à la vitesse de la lumire, les phares fonctionnent-ils ? Et les feux arrières ?
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lol j'aime beaucoup le dernier :-).
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mdr puch!
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@ antiblitz "le vérace dira "non" et le menteur ne pourra pas répondre à la question car si il disait "oui", il dirait la vérité, ce qui lui est interdit; et si il disait "non", cela voudrait dire que c'est un vérace, ce qui est faux !!!"... Si le menteur disait "non" il mentirait se faisant passer pour un vérace, c'est justement son but donc c'est bon. Plutot "quel est le chemin qui te mène à ton village?" car la station de querozène est située chez les véraces, mais bon les enoncés diffèrent souvent.
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cf puch "Sur une navette spatiale allant à la vitesse de la lumire, les phares fonctionnent-ils ? Et les feux arrières ?"
Ca fait référence à une série de questions qui circulent sur le net, mais détournée:
A ta question, on peut répondre : oui, si on pense à les allumer, mais un physicien dira peut-être non, car il faudrait toutes les ressources énergétiques pour le faire avancer à une telle vitesse
Dcax, qui n'a pas capté l'histoire d'iznogood...
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Struggle et les autres Lorsqu'il n'y a pas de pluriel dans l'énoncé (mais comme je l'ai expliqué ça ne change rien au principe), chaque nuit qui passe garantit qu'il y a au moins un cocu de plus.
Après la ième nuit, tout le monde sait qu'il y a au minimum i+1 cocus.(a)
Supposons maintenant qu'il y a 10 cocus dans la ville.
Tous les cocus voient 9 cocus et savent qu'il y a au plus 10 cocus (9 + eux-mêmes) dans la ville.(b)
Tous les non cocus voient 10 cocus et savent qu'il y a au plus 11 cocus.(c)
Ok jusque là ?
Une fois la 9ème nuit passée, tout le monde sait qu'il y a au moins 10 cocus (cf (a)). Les cocus savent également qu'il y a au plus 10 cocus (cf (b)), donc les cocus connaissent exactement le nombre de cocus et savent qu'ils vont devoir leur femme le soir-même.(d)
Les non cocus ne connaissant toujours pas le nombre exact, ils ne vont rien faire.
Donc la 10ème nuit les infidèles se feront égorger (cf (d)) et ça n'est que le 11ème jour que toute la ville connaîtra avec précision le nombre de cocus.
Peux-tu me dire où tu bloques ? Sur a, b, c ou d ?
Lions : Bravo yger :o)
Le trésor n et n*2 : Bellamy, elkine, fox & niko je confirme en effet comme je l'ai dit tout là-haut que la règle de détermination du n est manquante dans cet énoncé pour que le paradoxe subsiste. En revanche on peut très bien définir exactement une distribution qui préserve le noeud du problème.
Voilà ce que je vous propose :
Je lance une pièce de monnaie jusqu'à obtenir pile. J'appelle le nombre de lancers nécessaires m.
Je place dans un trésor n = 3^m pièces d'or, dans le second n' = 3^(m+1) pièces d'or.
Je vous repose maintenant la question de pythontuile...
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@Peres, ça bloque sur le fait que l'énoncé ne dit pas que le nbre de cocus augmente chaque nuit qui passe... La phrase " tout habitant de Bagdad qui se rendra compte que sa femme le trompe, devra l'égorger la nuit suivant le jour où il s'en sera rendu compte" ne signifiant pas nécessairement cela . De plus , en supposant qu'on l'interprète de cette manière , il faut connaître N pour pouvoir dire avec certitude qu'on est cocu . Tant que N varie tout en étant >2 l'incertitude demeure .
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Précision supplémentaire et pour autant qu'on considère que chaque nuit permet de découvrir qu'on est cocu , plus d'un homme peut se découvrir cocu chaque nuit qui passe . Ceci n'est pas non plus précisé dans l'énoncé .
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Exercice hautement plus difficile pour les matheux et logicologues en herbe:
Il y aurait un coureur non dopé sur le tour de france: Il s'agit de trouver qui c'est...
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Le problème c'est que le tour de France ne dure pas assez de nuits pour que tous les dopés égorgent leur soigneur.
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Le nombre de cocus n'augmente pas Struggle. N ne varie pas, où as-tu vu ça ??
Je suis désolé mais tes réponses sont gorgées d'imprécisions de ce type, ce qui rend l'analyse de tes propos difficiles.
De même où as-tu vu que chaque nuit un homme de plus se découvre cocu ? Ca n'est absolument pas le cas.
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@Peres , tu dis : "Lorsqu'il n'y a pas de pluriel dans l'énoncé (mais comme je l'ai expliqué ça ne change rien au principe), chaque nuit qui passe garantit qu'il y a au moins un cocu de plus.
Après la ième nuit, tout le monde sait qu'il y a au minimum i+1 cocus.(a)"
Je ne prétends rien , je ne fais que reprendre ton texte et je ne vois pas comment interpréter autrement "chaque nuit qui passe garantit qu'il y a au moins un cocu de plus"...
Je dis à propos de N que N doit être connu de tous dès le départ sans quoi personne ne peut prendre en premier la décision de trucider sa femme . Si N n'est pas connu (communiqué au départ) , le seul moyen de décider de trucider sa femme est que le pluriel soit utilisé dans l'énoncé et que le cocu n'en identifie qu'un seul autre , sous-entendu N=2 . Pour tout N>2 il faut en connaître la valeur mais , connaître la valeur de N permet à chacun de prendre immédiatement la décision de zigouiller son épouse. Pas besoin d'attendre plus d'une journée .
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Struggle est mauvais perdant... Il n'a pas trouvé et cherche des poux dans l'énoncé. La solution est pourtant simple:
Imaginons qu'il y ait 2 cocus:
Un des deux se dira il y a maximum deux cocus car j'en connais un, il reste à savoir si j'en fais partie. Normalement le cocu que je vois devrait se suicider car:
1)Il ne voit pas d'autres cocus autour de lui
2)il sait qu'il y a au moins un cocu.
Or malgré cela il ne se suicide pas ce qui veut dire qu'il y en a deux...
Avec trois cocus:
les cocus se feront le raisonnement ci-dessus en pensant qu'àprès deux jours les deux cocus qu'ils voientt vont se suicider mais si ils ne le font pas...
Et ainsi de suite...
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En plus Si le nombre de cocus était connu dès le départ ça serait assez nul comme problème...
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Bien , Grosbill ... M'énerve pas . Je vais reprendre mon explication dans le détail et tu verras où ça cloche.
Tout le monde semble d'accord pour dire que si N= 2 la réponse est simple . Je vois un seul cocu et je peux en tirer les conclusions . La réponse est immédiate car je connaîs la valeur de N . Cette valeur le la connaîs avec certitude car soit elle est communiquée dans l'énoncé soit il ya emploi du pluriel dans l'énoncé et je n'identifie qu'un seul cocu . Dans ce cas précis ma décision de trucider ma femme est immédiate . Ca rejoint l'explication que tu donnes .
Deuxième cas de figure , N>2 mais n'est pas déterminé . Il y a DES cocus à Bagdad et pour ma part , j'en identifie 25 . Comment puis-je faire pour savoir si je suis cocu ou pas ? Aucune précision de l'extérieur me permet de douter de la valeur N = 25 et il en va de même pour tous les hommes de Bagdad . Le seul moyen de le savoir serait de se concerter , tous les hommes disant en voir 25 il doit forcèment y en avoir un de plus ! Or ceci ne figure pas dans l'énoncé .
Troisième cas de figure, N>2 est défini avec certitude , tous les hommes ont une connaissance immédiate de la situation et peuvent en tirer les conclusions . Pas besoin d'attendre plus d'une nuit .
On peut résumer la situation en disant que pour tout N connu avec certitude (communiqué au départ , explicitement ou implicitement) la décision est immédiate , pas besoin d'attendre plus d'une nuit , et que pour tout N non défini au départ il est impossible de se décider .
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@struggle Deuxième cas de figure , N>2 mais n'est pas déterminé . Il y a DES cocus à Bagdad et pour ma part , j'en identifie 25 . Comment puis-je faire pour savoir si je suis cocu ou pas ?
si j'ai bien compris, tu attends la 24ème nuit ; si tout le monde est encore vivant, c'est que t'es cocu !! et les 26 cocus trucident leur femme la nuit suivante ! c'est simple finalement :-)
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@yegonzo, ben , non ! Personne ne peut être le premier à zigouiller sa femme vu que l'incertitude plane pour tous...Sur base de quoi le premier mari trompé pourrait-il prendre sa décision ? Lui aussi en identifie 25 autour de lui mais ne connait pas sa propre situation !! Là où ça cloche c'est que le seul moyen d'avoir une certitude est de connaître N mais, connaissant N , le problème n'en n'est plus un .
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je crois que tu n'as pas saisi le problème L'idée c'est qu'ils s'en rendent compte tous en même temps.
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Le problème c'est que tu ne lis pas ce que j'écrit. Si tu veux te mettre dans de bonnes dispositions pour piger la solution, pars du principe que l'énoncé et la solution sont justes. C'est un problème archi-connu qui a fait ses preuves.
Pour résumer l'énoncé:
- Il y a des cocus à bagdad (on ne sait pas combien)
- Chaque personne se fera le meilleur raisonnement logique décrit ci-dessous avant le soir
- Ils tueront leur épouses le soir si ils découvrent qu'elle est infidèle
- Ils ne communiquent pas entre eux mais voient les autres cocus.
Chaque cocu verra N-1 cocus, et il pourra déduire que le nombre de cocus varie entre N et N-1. N étant le nombre de cocus total.
Donc si une personne voit 25 cocus, elle en déduira qu'il y en a maximum 26. Reste à savoir si elle est le 26eme cocu...
Pour cela elle va se faire le raisonnement itératif suivant;
Partons du cas ou il y a 3 cocus pour arriver au cas de 25, 26 ou même 32...
Si il y en a 3, chaque cocu va se dire, (si il pense je ne suis pas cocu) : J'en vois 2 donc ces deux là en voient chacun un et tueront leur femme après deux jours car ils auront pigé. Si après deux jours rien ne s'est passé cela signifie que je suis cocu. Donc il vont agir au 3 eme soir.
Si il y en a 4:
Chaque cocu qui en voit trois, va se faire le raisonnement ci-dessus et lorsque le 3eme soir est passé va se dire qu'il est cocu également:
Si il en a 5
Chaque cocu qui en voit 4, va se faire le raisonnement ci-dessus et lorsque le 4eme soir est passé va se dire qu'il est cocu également:
....
....
Si il en a 26
Chaque cocu qui en voit 25, va se faire le raisonnement ci-dessus et lorsque le 25eme soir est passé va se dire qu'il est cocu également:
Donc le cocu qui en voit 25 sait qu'il doit attendre 25 soirs pour savoir si il est cocu ou non.
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ref Perestroïka "Je lance une pièce de monnaie jusqu'à obtenir pile. J'appelle le nombre de lancers nécessaires m.
Je place dans un trésor n = 3^m pièces d'or, dans le second n' = 3^(m+1) pièces d'or. Je vous repose maintenant la question de pythontuile..."
Je ne vois pas ce que cela change. Soit x,y les variables aléatoires correspondant au choix de chacun des deux coffres, x,y peuvent être vu comme des fonctions de { 0,1 } vers { 3^m, 3^{m+1} } et on a:
x(0) = 3^m, x(1) = 3^{m+1}, y(0) = x(1) et y(1) = x(0). D'où E(x) = (x(0)+x(1))/2 = (y(0)/3 + y(1)*3)/2 = (3^{m}+3^{m+1})/2 = 2*3^{m}. De même pour E(y).
L'erreur dans le raisonnement consisterait - comme dans le message de pythontuile - à passer de "E(x) = (y(0)/3 + y(1)*3)/2" à "E(x) = (E(y)/3 + E(y)*3)/2", ce qui nous donnerait E(x) > E(y) absurde. Cela résulte simplement d'une confusion sur le sens de "p", qui peut dénoter soit l'espérance de "p", soit la valeur de p pour un certain évènement.
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niko Ta réponse est illisible parce qu'il y a plein de caractères manquants.
La question est pourtant simple : Tu ouvres le coffre A dans lequel tu trouves 81 pièces d'or. La question est faut-il changer et prendre le coffre B :
Raisonnement 1 : E(B) = p(m=3 | m E {3;4}) * 27 + p(m=4 | m E {3;4}) * 243 = 2/3 * 27 + 1/3 * 243 = 18 + 81 = 99 (> 81)
Donc je change.
Raisonnement 2 : Si j'avais ouvert en premier B, j'aurais calculé une espérance de 33 ou de 297 dans chaque cas supérieur aux 27 ou 243 pièces d'or que j'y aurais trouvé, donc j'ai intérêt à garder mon coffre A.
Comment lever le paradoxe et résoudre cette espérance symétrique égale à 11x/9 ?
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oups prob d'accolades Il fallait lire p(m=3 | m E (3;4)) et p(m=4 | m E (3;4). Bien-sûr la somme de ces deux probabilités est égal à 1.
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Le problème est que ton espérance est infinie au départ. Il est normal que 81 paraisse insuffisant, lorsque l'espérance est infinie...
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Je ne compare pas le contenu du coffre A à l'espérance initiale qui est effectivement infinie mais à celle du contenu de B.
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Bon sang mais c'est bien sûr ! J'ai compris !! Avouez que vous n'étiez pas très clairs dans vos explications... ;-0 ! Je plaisante .
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Si tu trouves quelqu'un pour jouer à ce jeu alors tu dois changer de coffre. Le raisonnement 2 est faux.
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Pkoi ?
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Tout vient de l'impossibilité concrète de réaliser cette expérience. Il faudrait une fortune infinie. C'est pour ça que je dis : "Si tu trouves quelqu'un pour jouer à ce jeu".
C'est une variante interessante, qui combine deux paradoxes connus. On peut encore changer la présentation :
On détermine deux entiers m et n (par lancer de pièces jusqu'à obtenir pile). Dans un coffre, on place 2^m, et dans l'autre 2^n. Pour chaque coffre, l'espérance est infinie. On ouvre un coffre. Quelque soit la valeur trouvée, on a intérêt à changer (raisonnement 1). Mais quelque soit la valeur trouvée dans l'autre, on aurait eu aussi intérêt à changer (raisonnement 2).
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Tu n'expliques pas en quoi le raisonnement 2 est faux (dans les 2 cas) !
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C'est surtout que je suis sûr que le premier est juste ;-). Je pense que c'est juste la dernière phrase : "donc j'ai intérêt à garder mon coffre A". En fait, changer de coffre, c'est faire une nouvelle expérience aléatoire, où l'espérance est positive (ta présentation) ou infinie (la mienne). Donc en ouvrant le coffre B, on aurait eu intérêt à refaire une expérience aléatoire, et non pas "garder le coffre A".
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Et je ne vois pas le rapport avec l'impossibilité concrète. En quoi est-ce plus ou moins concret que par exemple l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes ?
C'est un problème purement théorique, nous sommes bien d'accords.
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mea culpa pour "l'impossibilité concrète" L'essentiel est que le procédé de tirage au sort soit parfaitement défini. Je voulais juste souligner que ce genre de paradoxe apparait souvent lorsque l'infini est en jeu, et qu'il serait difficile de trouver une variante paradoxale n'utilisant pas l'infini.
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Moi je dis Déjà, si j'ai un nombre de pièces d'or impair, je change de coffre quoi qu'il en soit !
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Tu n'expliques tjs pas où le raisonnement 2 est faux. Je suis pour ma part convaincu que c'est la conclusion du raisonnement 2 qui est correcte, mais ça ne tient absolument pas lieu d'argumentation.
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La conclusion du raisonnement 2 ne peut pas être correcte. Dans ma variante, il est évident qu'il faut retenter l'expérience en changeant de coffre. Je répète, je ne comprends pas ce qui permet de conclure "donc j'ai intérêt à garder mon coffre A".
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Du fait que E(A | B) > B
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En ouvrant en premier B on aurait eu intérêt à faire l'expérience consistant à ouvrir A, ce qui est très différent de "garder le coffre A".
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Quelle est la différence ? Le gain in fine est strictement et toujours identique. En gros tu es en train de nous dire que choisir B pour garder A ensuite est plus intéressant que choisir A directement. En d'autres termes B - B + A > A.
Tu es serein avec ça ?
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Non, ce n'est pas ce que je suis en train de dire. Même en gros.
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Quelle est la différence alors ? Bon après j'arrive de te tirer les vers du nez, c'est un peu fatigant et pas très productif...
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"j'arrête"
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Garder A, ce n'est pas une expérience aléatoire. Alors que passer de B à A, c'en est une. Ce n'est donc pas "choisir B pour garder A ensuite", mais choisir B pour tenter A. Tant que le résultat n'est pas déterminé, on a intérêt à rejouer. C'est particulièrement frappant dans ma version. Or si ton raisonnement 2 est valable dans ta version, il l'est aussi dans la mienne.
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Solution Moi, je prends les deux coffres et je me barre en courant. J estime mon esperance de gain a 0,80 parce que je cours vite. A noter que le port d´une arme a feu fait augmenter notablement les chances de succes de cette methode.
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Le fait de dire que "si le raisonnement 2 était vrai on aboutirait à une absurdité dans ta version" (pas + à mon sens que dans la mienne mais peu importe) n'est pas suffisant étant donné que c'est justement le propre du paradoxe.
Il consiste je le rappelle en 2 raisonnements qui semblent corrects et qui aboutissent à des conclusions incompatibles. A mes yeux tu te contentes de reformuler le paradoxe.
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Je viens d'expliquer plusieurs fois pourquoi le raisonnement 2 est incorrect. Tu ne le comprends pas, peut-être parce que je l'explique mal. Mais je ne vais pas le reformuler 50 fois.
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N'empêche que... ...vous en êtes toujours à décider de garder ou changer en comparant des espérances, alors que "un tien vaut mieux que deux tu l'auras"
OK, je sors...
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Puisqu'on parle d'espérance, le raisonnement 2, c'est : E(A/B) > E(B/B) donc je garde A. Or c'est A que l'on connait, et pas B. Il faut donc seulement comparer E(B/A) (ie 99) et E(A/A) (ie 81).
Pour la dernière fois, le fait de dire "si j'avais choisis B, j'aurais eu intérêt à changer pour A" ne permet pas de conclure "donc je garde A".
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Quand même le cyclisme c'est une chose formidable où les coureurs dopés vont moins vite que ceux qui se dopent pas...
On se demande pourquoi y en a qui se dopent ...
Dcax, last troll but not least :)
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Un autre probleme paradoxal: Jean et Sophie joue a un jeu:
chacun ouvre son porte-feuilles, celui qui a le plus d argent donne tout ses sous a l autre (il n y a evidemment pas de revanche!)
Jean pense: si je perd, je ne perd que ce que j ai dans mon porte-feuilles par contre si je gagne, je gagne plus.
Donc ce jeu est a mon avantage!
Sophie, par le meme raisonnement conlut elle aussi que ce jeu est a son avantage!
expliquez l erreur de raisonnement des deux protagonistes.
(on ne sait pas quelle somme il y a dans les porte-feuilles, seulement qu elle n est pas nulle (et positive!))
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comprenez: (et que la somme est positive)
sinon, je ne suis pas sur qu il y ait une solution a ce probleme
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ref petiteglise pourrais-tu indiquer dans quel source tu as trouvé ce très joli problème ?
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"quelle" mais qu'est-ce qui m'arrive...
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dans "La magie des paradoxes" de Martin Gardner
Mais le probleme fut invente par Maurice Kraitchik. (la beaute des cravates remplacant la somme contenue dans les porte-feuilles)
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Merci ! je vais essayer de me le procurer...
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ca risque d etre difficile l edition que j ai date de 1980...
mais peut etre qu il se trouve encore en bibliotheque...
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il a dû être réédité je viens de passer commande sur amazon, j'espère que c'est bien la même chose et pas une merde lol :-)
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comme il n'y a plus que des mat(h)eux par ici, je ne suis pas trop hors sujet. Je suis coincé par une "petite" astuce géométrique.
"Comment partager un cercle avec une droite de façon à ce que l'aire de l'une des parties soit le double de l'autre?"
L'un d'entre vous m'a dit "ça c'est pour Fox". Mais je ne trouve pas le mail de Fox...
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ce n'est pas très difficile mais un peu technique. Mon mail : gregory.chadufau@wanadoo.fr
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Ref Bellamy "je ne vais pas le reformuler 50 fois" Voilà ce que je lis & comprends (dans l'ordre d'apparition), les italiques sont 100% de toi :
Il est normal que 81 paraisse insuffisant, lorsque l'espérance est infinie : Faux, on compare 2 espérances finies. De + "paraisse insuffisant" est peu mathématique dans le propos, moi je calcule 2 espérances dont l'une est strictement supérieure à l'autre.
Le raisonnement 2 est faux : sic
Tout vient de l'impossibilité concrète de réaliser cette expérience : Faux, tu le reconnais toi-même par la suite.
C'est surtout que je suis sûr que le premier est juste : re sic suivi de l'explication que si B avait été A ça aurait été la même chose. Ok les 2 coffres sont parfaitement interchangeables, et alors ? Je dirais même plus, c'est le coeur du raisonnement 2 qui conduit à ne pas changer.
La conclusion du raisonnement 2 ne peut pas être correct : re re sic ! (jusque là pas grand chose à se mettre sous la dent, pourtant bcp d'allers-retours !)
En ouvrant en premier B on aurait eu intérêt à faire l'expérience consistant à ouvrir A, ce qui est très différent de "garder le coffre A". : Suivi d'un "quelle est la différence ?" désespéré qui n'obtient pas de réponse de ta part.
Ha si, ensuite tu dis Garder A, ce n'est pas une expérience aléatoire. Alors que passer de B à A, c'en est une : Qu'est-ce à dire ? Que tu penses qu'il est plus (ou moins ?) intéressant de prendre x euros plutôt que jouer à un jeu qui a une espérance de x euros ? Si oui c'est un résultat assez révolutionnaire qu'il faudrait étayer un chouia.
Désolé d'insister lourdement, mais les forumiens à te lire seraient fichus de croire que tu as trouvé une solution au problème ce qui pour moi, on l'aura compris, est complêtement faux.
Fox aucune idée ? aucun attrait ? Les autres non plus ?
Pour complément d'info la seule "littérature" mathématique que j'aie trouvé approchant le sujet est à propos du paradoxe voisin dit de St Petersbourg et qui est traité par exemple par Feller.
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ref peres pas tellement... j'ai fait beaucoup de maths dans mes études, mais très peu de probas (un semestre de maîtrise en tout et pour tout, et en fait je n'ai même assisté à AUCUN cours car je faisais mon DEA en même temps). J'ai acquis un niveau solide en analyse / algèbre / géométrie, et c'est toujours avec plaisir que je me plonge dedans, mais je suis très limité en probas. Donc je vous lis mais n'interviens pas.
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ref peres ce probleme est traite dans l excellent "Ca y est je suis fou!!" du tout aussi excellent Raymond Smullyan ("le livre qui rend fou", "Sherlock Hlomes en echecs", etc) dans lequel l auteur propose aussi une variante de ce probleme, si tu n as pas ce livre, je voudrais bien resumer ici ce qu il en est dit mais pas ce soir...
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Je veux bien un résumé surtout de sa solution ! ;o) Et pourquoi pas la variante également encore que comme le suggère Bellamy avec cette base et en exploitant les espérances infinies il ne soit pas très compliqué de créer des variantes.
Ce qui est intéressant ici tout de même c'est qu'on parvient à éliminer les espérances infinies tout en conservant le paradoxe.
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Dois-je dire tout le bien que je pense du procédé consistant à reprendre en italique des propos cités hors contexte, dont certains ont été tenus sur le ton de la plaisanterie (avec smileys !), d'autres avant que la discussion est vraiment été entamée ? Et cependant je ne renie presque rien !
Reprenons :
Il est normal que 81 paraisse insuffisant, lorsque l'espérance est infinie : Il y avait des points de suspension. Merci de ne pas les oublier. Il s'agissait simplement de souligner un point essentiel : l'espérance est infinie au départ.
Tout vient de l'impossibilité concrète de réaliser cette expérience : Faux, tu le reconnais toi-même par la suite. : Certes. Alors pourquoi en parler ? Est-ce pour montrer mon incompétence ? Je me suis expliqué la dessus : ce n'est pas tant le fait que l'expérience soit impossible à réaliser, mais plutôt qu'elle nécessite une somme infinie. Mais ça ne répond pas au paradoxe, OK.
C'est surtout que je suis sûr que le premier est juste : smiley ! Cependant je suis bien certain que le premier est juste (resmiley ! ). Pour le reste, je n'ai pas compris ton commentaire.
La conclusion du raisonnement 2 ne peut pas être correct : Bien sûr. Si il y a une chose certaine, c'est bien celle là, contrairement à ce que tu affirmes. Il reste à trouver (pour toi) où est la faute, mais la conclusion est évidement fausse.
Pour le reste, les citations que tu as faites me conviennent. En effet, passer de B à A, ce n'est pas pareil que garder A. Si tu ne vois pas la différence, tant pis. Inutile de me prêter (encore une fois !) des conclusions que je ne fais pas : du genre "'il est plus (ou moins ?) intéressant de prendre x euros plutôt que jouer à un jeu qui a une espérance de x euros". Je ne vois absolument pas le rapport avec ce que je dis.
Le fait de dire "si je connaissais B, je choisirais A", ne permet absolument pas de conclure "donc je dois choisir A". Ton raisonnement 2 est du genre : E(A/B) > E(B/B) donc E(A/A) > E(B/A) ce qui est faux ! Essentiellement d'ailleurs parce que E(A) et E(B) sont infinis !
A mon tour de te cuisiner : As-tu le moindre début d'explication permettant d'étayer le "donc" du raisonnement 2 ? Peux-tu (oses-tu) répéter ce que tu penses de la conclusion du raisonnement 2 ? (ou dois-je te citer en italique ?).
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J'avais un peu de temps ce soir... Pour le problème original, il n y a rien de nouveau a ce qui a déjà été écrit ici, seule la conclusion peut être intéressante :
« [---] je n ai jamais entendu de réponse à cette question qui me satisfasse entièrement, avoua le sorcier. (Dans ce livre, Smullyan s est transforme en sorcier logicien qui enseigne la logique à ses deux élèves : Annabelle et Alexandre ) J’ai posé ce problème a de nombreux théoriciens de probabilités, ça en a fait rire plus d’un, tout comme moi, et certains m’ont donné des tas d’explications en termes de mesure probabiliste sur l’ensemble infini des entiers positifs. Mais j’ai l’impression que les probabilités ne sont pas au cœur du problème et j’ai pensé à une nouvelle version de ce paradoxe qui ne nécessite aucun recours aux probabilités.
Voici donc sa version :
« Vous prenez une des deux enveloppes et vous décidez que vous allez l’échanger contre l’autre. Soit vous y gagner, soit vous y perdez au change. Je vais maintenant vous démontrez ces deux propositions contradictoires. :
1 : Le montant de ce que vous allez gagner au change, si vous y gagnez est plus grand que vous allez perdre si vous y perdez.
2 : Ces deux montants sont les mêmes
Le raisonnement du sorcier Smullyan pour démontrer la proposition 1 :
Soit n la somme contenue dans l’enveloppe que vous avez choisie. L’autre enveloppe contient donc soit 2n soit n/2.
Puisque n est plus grand que n/2 le montant que vous gagnez, si vous gagnez est plus grand que la somme que vous perdez, si vous perdez. CQFD
La démonstration de la proposition 2 :
Soit d la différence entre les sommes des deux enveloppes ou, ce qui revient au même, soit d la somme la plus faible.
Si vous gagnez au change, vous gagnez d euros, et si vous perdez au change, vous perdez d euros.
Et ainsi les sommes sont les mêmes quoi qu’il en soit. CQFD
L’anecdote ce finit par un dialogue entre les deux héros :
Annabelle : « […] Supposons que tu ouvres l’enveloppe et que tu trouves 100 euros. Alors tu sais que l’autre enveloppe contient soit 50 euros soit 200 euros. Et donc si tu gagnes au change tu gagnes 100 euros alors que si tu perds tu ne perds que 50 euros. Alors n’est-il pas évident que la somme que tu peux gagner est plus grande que la somme que tu peux perdre ? N’est-il pas évident que 100 euros c’est plus que 50 euros ? Comment peux-tu avoir le moindre doute là-dessus ?
- Tu ne prends pas le problème comme il faut, répondait Alexandre. Les sommes dans les deux enveloppes sont de n euros et de 2n euros pour un n dont nous ne connaissons pas la valeur. Si tu gagnes au change tu passeras de n euros à 2n euros et tu gagneras n. Au contraire si tu perds au change, tu passeras de 2n a n euros et tu perdras encore n euros. Par conséquent ce que tu peux gagner est égal à ce que tu peux perdre.
Après ça je me permet de faire un peu de pub pour ce bouquin (Raymond Smullyan, « Ca y est, je suis fou !! » ) que j’aime vraiment, outre les problèmes avec les Purs et les Pires, on y parle de Cantor, Godel, Cohen… et de bien d’autres choses, le tout sans aucun signe mathématique (et donc compréhensible par tous)
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Mouais... Les probas, c'est aléatoire... La proposition 2 est correcte, telle que formulée, la 1 également, mais elles ne s'appliquent pas aux mêmes conditions de tirages :o)
Si je reprends le raisonnement d'Alexandre, et que j'ai 100 euros dans la première enveloppe :
Alors ma différence d sera de 100 si j'ai 200 dans la deuxième, et 50 si j'ai 50 dans la deuxième.
Si je gagne au change, alors j'ai forcément 200 dans la deuxième et j'ai gagné 100.
Dans ce cas, si je gagne, je gagne bien d=le montant de la premère enveloppe. Et je ne peux pas perdre, puisque, par hypothèse, je gagne.
Si je perds au change, alors j'ai forcément 50 dans la deuxième, je perds donc bien d=le montant de la 2ème enveloppe. Et par hypothèse, je ne peux pas gagner.
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sauf que il est écrit: "Soit d la différence entre les sommes des deux enveloppes ou, ce qui revient au même, soit d la somme la plus faible.
"
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C'est ce que j'ai écrit... Si je gagne, d=100 (montant de la plus faible, ou différence des deux).
Si je perds, d=50 (montant de la plus haute, ou différence des deux).
L'astuce consiste à faire deux hypothèses, et deux conclusions à posteriori, sur deux évènements exclusifs.
Dans le premier cas, je sais que j'ai gagné, donc que ma première enveloppe est la plus basse (donc égale à d, et par hypothèse, égale à la différence des deux).
Et dans le deuxième, je sais que j'ai perdu. L'ordre du tirage des enveloppes n'est plus aléatoire, mais imposé en fonction de l'une ou l'autre des deux hypothèses.
Tant que tu n'as pas effectué le deuxième tirage, tu ne peux déterminer d, et seule l'une des deux conclusions sera valable après le deuxième tirage.
Le premier raisonnement est valable dès la première enveloppe.
Le second n'est possible que lorsque tout est connu (donc après l'ouverture de la deuxième). Tant que l'on n'a ouvert que la première, d peut prendre deux valeurs, différentes, et les montants de gain ou de perte sont forcément différents. On est alors dans le cas de la proposition n° 1.
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