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| Partie infinie ? par Benji3000 le
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| Théorie | |
Bonjour,
"[...]Par exemple, Max Euwe, un joueur d'échecs et professeur de mathématiques, l'a découverte [la suite de Prouhet-Thue-Morse] en 1929 pour une application aux échecs, prouvant, par ce biais, qu'il existe des parties infinies ne comportant pas de répétition des trois mêmes coups." (ref: suite de Prouhet-Thue-Morse)
Comment a-t-il fait ? Après qqes minutes de réflexion je ne vois pas trop le rapport, car les 3 positions peuvent être répétées n'importe quand dans la partie. Et puis il n'y a qu'un nombre fini de configurations possibles =/
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le rapport avec quoi ? De ce que je comprends, ce dont il s'(agit dans ta référence ne signifie pas qu'on peut générer des parties infinies sans passer trois fois par la même position, mais qu'on peut générer des parties infinies sans répéter 3 coups identiques (reste à savoir ce qu'on veut dire exactement par "répéter trois coups identiques"
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le rapport avec la fameuse suite.. Tu comprends donc exactement comme moi ;-) Répéter trois coups identiques, pour moi c'est soit répéter 3 fois le même coup à la suite (auquel cas c'est très facile de montrer qu'il existe des parties infinies sans cette caractéristique), soit répéter 3 fois le même coup à 3 endroits différents, et il me semble que quelle que soit la définition de "coups identiques", on n'y échappe pas. M'enfin.. On est pas plus avancés !
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au passage je recherche le nom d'un autre célèbre nombre transcendant qui m'échappe, celui dont les décimales sont construites par juxtaposition de tous les nombres entiers : 0,123456789101112131415161718192021...
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en fait même si l'on prend comme référence coup + position, il n'y a qu'un nombre borné N de coups qui mènent à une position. ça fait donc au plus [N*N*nombre de positions possibles] situations, on est loin de l'infini =/
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@Fox Ce nombre semble être la constante de Champernowne C_10: C_10. Y'a pas de définition claire mais ça semble être le même nombre.
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Séquence de coups Ce que j'ai compris c'est que, par analogie avec la série en question, il existe des parties infinies telles qu'aucune séquence complète de coups consécutifs n'est répété trois fois à la suite (de même que dans la série, aucune séquence d'entiers n'est répétée trois fois à la suite).
Le passage de la suite de Pierre-Paul-Jacques à une partie d'échecs m'échappe totalement (quoique... avec deux rois évoluant chacun dans un triangle selon les 0 ou 1 de la suite... ça se tient).
Bien sûr, ça n'a rien à voir avec la règle des trois répétitions de position.
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Par exemple 
Le roi blanc se cantonne aux cases g1, h1 et h2 ; le roi noir au triangle a7-a8-b8.
Les éléments de la suite déterminent les coups des rois : si c'est 0, on tourne dans le sens des aiguilles d'une montre, si c'est 1 on tourne dans le sens inverse.
Début de la suite : 0110100110
Début de la partie correspondante :
1 Rg1 Ra7 2 Rh1 Ra8 3 Rh2 Rb8 4 Rh1 Ra8 5 Rh2 Rb8...
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@Benji exact c'est bien Champernowne, merci !
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Elle a l'air bonne ta définition Et du coup ça semble facile à prouver: on fait une partie "normale" sans aucune répétition en finissant roi contre roi, disons face à face en e3 et e5, puis en utilisant la propriété de la suite on prend la convention "0==aller à gauche", "1==aller à droite", ce qui donne : le roi blanc va en d3, puis le roi noir en f3, puis roi blanc en e3 (011) ..etc. Espérant (prouvant ?) que les rois ne sortent pas de l'échiquier, on a le résultat :-)
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@pessoa Ton exemple évite de vérifier que les rois ne sortent pas, et semble achever le débat. Merci !
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3 fois "semble" en qqes posts.. Faudrait que je sois un peu plus sûr de moi :-)
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lol
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Le nombre de Champernowne est ce qu'on appelle un nombre univers : il contient tout nombre entier. On ignore si pi est un nombre univers. C'est oui ou non, mais malgre tout peut-etre indemontrable...
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En ce qui concerne la plus longue partie theorique, sa longueur a ete calculee mais je me souviens plus du resultat...
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5150 coups Avec des séries de 49,5 coups séparées par des prises ou des coups de pion.
On peut avoir 6*16=96 coups de pions + 14 prises mais il faut 8 prises par des pions pour que les pions se croisent. Donc 102 coups qui "brisent" la règle des 50, soit 103 séries de 50 coups.
Si on n'admet pas les 50 derniers coups de roi contre roi, on tombe à 5100 coups.
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comprendo nothing !
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@nicolas dupont, Pi est l'univers Il me semble qu'il a bien ete demontre que Pi est un nombre Univers (en tout c'est confirme dans l'excellent livre de Jean-Paul Delahaye: "le fascinant nombre PI"). J'essaierai de trouver une reference sur le Web.
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Erratum Un rapide tour sur la toile confirme bien que Pi serait un nombre Univers, mais qu'on est sur de rien! Une conjecture donc. Desole Nicolas Dupont.
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Petit résumé pour les mal-comprenants et les autres Dans la suite, on suppose que l'on ne tient pas compte de la règle des 50 coups.
Une partie nulle par répétition de position se termine souvent (mais pas toujours) par la répétition d'une même série de coups, par exemple :
1.Dg6+ Rh8 2.Dh6+ Rg8
3.Dg6+ Rh8 4.Dh6+ Rg8
5.Dg6+ Rh8 6.Dh6+ Rg8
Dans cet exemple, une même série de 4 (demi-)coups se répète trois fois (noter que la position se répète déjà après le 5e coup blanc).
Du coup, certains croient que pour que la partie soit nulle, il faut une répétition de coups, au lieu d'une répétition de positions (certains parlent même d'échec perpétuel, alors que rien de tel n'existe dans les règles).
Euwe se demandait ce que cela changerait d'adopter cette règle : la partie est nulle si une même série de coups se répète 3 fois consécutivement. Il a donné la réponse : il pourrait y avoir des parties infinies. Il utilise pour cela la suite de Thue-Morse.
La suite de Thue-Morse est une suite à valeur dans {0;1} qui a la propriété qu'aucune série de nombre ne se répète trois fois consécutivement : il n'y a ni 000, ni 111, ni 010101, ni 011011011, etc...
A partir de la position initiale, en associant au 0 une suite de coup comme Cf3-Cc6-Cg1-Cb8, et au 1 une suite de coup comme Cc3-Cf6-Cb1-Cg8, on obtient une suite de coups qui a la propriété qu'aucune série de coups ne se répète trois fois consécutivement.
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En fait ce quie limite en pratique la longueur des parties c'est la règle des 50 coups, pas la répétition de position. Mais même sans la règle des 50 coups, on ne peut pas avoir de parties infinies avec les règles actuelles, puisque la même position finira par se répéter 3 fois.
Petit exercice : trouver le meilleur majorant possible pour la longueur d'une partie en oubliant la règle des 50 coups, mais pas la triple répétition de positions.
PS : dans le commentaire précédent, les accolades ne sont pas passées. La suite est à valeur dans 0 ; 1 .
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Bein si, les parties infinies existent puisque les règles actuelles n'imposent pas la nulles avec la règle des 50 coups ou la triple répetition de position, mais seulement l'accordent sur demande du joueur ayant le trait
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Certes Tu as quand même compris l'idée, je pense...
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Mais pour que la partie soit nulle, il faut simplement que la position ait été répétée 3 fois et qu'on l'annonce, même si ça arrive tous les 10 coups on s'en fiche. 3 fois d'affilées n'est pas la vrai règle de nulle. Enfin je dis peut-être une évidence car il est possible que je n'ai pas bien saisi le "problème" du sujet.
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Voui, j'avais compris Belllamy ;o) Pour revenir à ta question, j'avoue que je sèche. Avec les prises, mais surtout avec les promotions, j'ai plus assez de doigts...
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Bellamy, En relisant le post j'ai fini par trouver (infini d'après Euwe...)Comme quoi, on peut s'en sortir en étant nul en maths ;o)
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un nombre univers contient ... ... tout ce que l'on peut imaginer n'est ce pas.
et ceci sous la simple forme d'un code chiffré
on doit donc pouvoir imaginer un nombre univers NU "googloïde" contenant tous les nombres univers
ce nombre univers NU devant , par définition se contenir lui même, il est donc également "Gödeloïde"
j'aime bien les néologismes...
... et les paradoxes.
notons que ce simple fils est contenu dans le nombre en question... une infinité de fois, puisque que le nombre de nombres univers est infini.
Il y est donc démontré, une infinité de fois, à la fois l'impossibilité de sa construction, et le contraire.
bigre.
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